D
分析:求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的圖象求出A、T、以及?,確定函數(shù)的解析式,然后推出f(0),f(1),f(2),f(3),…,f(2011)是以4為周期的周期數(shù)列,且f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0得到正確選項.
解答:
解:函數(shù)f(x)=Asin(ωπx+?)(A>0,ω>0,0<?<π),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=Aωπcos(ωπx+?),
所以Aωπ=2 T=4,所以ωπ=
ω=
A=
因為導(dǎo)數(shù)圖象過(
,0),所以0=2cos(
+?),所以?=
,
f(x)=
sin(
πx+
),f(0)=
,f(1)=
,f(2)=
,f(3)=
,f(4)=
,…
所以f(0),f(1),f(2),f(3),…,f(2011)是以4為周期的周期數(shù)列,且f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=0
故選D
點評:本題是中檔題,考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法,三角函數(shù)的解析式的求法,數(shù)列的知識,是綜合題目,注意圖象的信息的應(yīng)用.