Question

平面內(nèi)有n(n∈N＋，n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)

同一點(diǎn)，證明：交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)＝.

 

Answer 1

見(jiàn)解析

【解析】(1)當(dāng)n＝2時(shí)，兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，

∴當(dāng)n＝2時(shí)，命題成立．

(2)假設(shè)n＝k，∈N＋，且(k>2)時(shí)，命題成立，即平面內(nèi)滿(mǎn)足題設(shè)的任何k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)＝k(k－1)，

那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，任取一條直線l，除l以外其他k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝k(k－1)，l與其他k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k，從而k＋1條直線共有f(k)＋k個(gè)交點(diǎn)，

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝ (k＋1)[(k＋1)－1]，

這表明，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．

由(1)、(2)可知，對(duì)n∈N＋(n≥2)命題都成立．