（本題14分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓短軸的

兩個(gè)端點(diǎn)與 構(gòu)成正三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）且與坐標(biāo)軸不平行的直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，

若在軸上存在定點(diǎn)E（，0），使恒為定值，求的值.

解：（1）由題意知  =又∵橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形

∴=1   從而    ∴橢圓的方程為=1

（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則的方程為

   消得   

設(shè)，則由韋達(dá)定理得  

     

則

∴=

=

=

=  ……………………………13

要使上式為定值須， 解得  故時(shí)，為定值

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)．過(guò)右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為1時(shí)，求的面積；

（Ⅲ）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？

若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿(mǎn)分14分）     已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上，頂點(diǎn)B、D在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年江西省六校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（（本題滿(mǎn)分14分）

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）且與坐標(biāo)軸不平行的直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，若在軸上存在定點(diǎn)E（，0），使恒為定值，求的值.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年廣東省、華師附中、深圳中學(xué)、廣雅中學(xué)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（（本題滿(mǎn)分14分）

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)  在直線(xiàn)上。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）求以OM為直徑且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值。

 

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