Question

已知函數(shù)滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足，a_n+1=f（a_n），，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）由ax•f（x）=2bx+f（x），，a≠0，得．…（2分）
由f（1）=1，得a=2b+1．…（3分）
由f（x）=2x只有一解，即，也就是2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，
∴4（1+b）²-4×2a×0=0
∴b=-1．…（5分）
∴a=-1．
故．…（6分）
（Ⅱ）解法一：∵，a_n+1=f（a_n），
∴，，，…（7分）
猜想，．…（8分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=，∴命題成立．…（10分）
②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即；
當(dāng) n=k+1時(shí)，，
∴當(dāng) n=k+1時(shí)，命題成立．…（12分）
由①②可得，當(dāng)n∈N^*時(shí)，有．…（13分）
∵，
∴a₁=2
∴{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為b_n=2ⁿ．…（14分）
解法二：∵，
∴…（8分）
即，…（10分）
∴即…（12分）
則數(shù)列{b_n}是以b₁=2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，b_n=2ⁿ，（n∈N^*）…（14分）
分析：（Ⅰ）先將函數(shù)化為，利用f（1）=1，得a=2b+1．根據(jù)f（x）=2x只有一解，可得2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，從而可求b，a的值；
（Ⅱ）解法一：先猜想，．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即；證明 n=k+1時(shí)，，從而得證，進(jìn)而可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
解法二：根據(jù)，，可得，利用，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)解析式的求解，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，正確理解題意是關(guān)鍵．