Question

已知點P是橢圓上的動點，F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點，且F₁M⊥MP，則|OM|的取值范圍是（ ）
A．（0，c）
B．（0，a）
C．（b，a）
D．（c，a）

Answer 1

【答案】分析：利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉化為用橢圓上點的橫坐標表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．
解答：解：如圖，延長PF₂，F(xiàn)₁M，交與N點，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點，
連接OM，∵O為F₁F₂中點，M為F₁N中點
∴|OM|=|F₂N|=||PN|-|PF₂||=||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓 中，設P點坐標為（x，y）
則|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex-a+ex|=|2ex|=|x|
∵P點在橢圓 上，
∴|x|∈（0，a]，
又∵當|x|=a時，F(xiàn)₁M⊥MP不成立，∴|x|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故選A．
點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，屬于基礎題．