已知函數(shù)f（x）=axlnx圖象上點（e，f（e））處的切線與直線y=2x平行．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅲ）討論關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）解的個數(shù)．

（本小題13分）
解：（Ⅰ）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，
得該切線斜率為2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f'（x）=lnx+1，
當時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的最小值為．…（8分）
（Ⅲ）當時，f（x）單調(diào)遞減且f（x）的取值范圍是；
當時，f（x）單調(diào)遞增且f（x）的取值范圍是
下面討論方程f（x）-m=0（m∈R）的解
當時，原方程無解；
當或m≥0時，原方程有唯一解
當，原方程有兩解．…（13分）
分析：（Ⅰ）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，得該切線斜率為2，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f'（x）=lnx+1，由此能求出函數(shù)f（x）的最小值．
（Ⅲ）當時，f（x）單調(diào)遞減且f（x）的取值范圍是；當時，f（x）單調(diào)遞增且f（x）的取值范圍是，由此進行分類討論，能求出方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的極小值的求法，考查方程的解的個數(shù)的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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2x
)＞3．

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（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
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已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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