Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+

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）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-

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）是奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

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，0）對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)．
在上述四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是

 

（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：題目中條件：f（x+

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）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，及單調(diào)性．

解答：解：對(duì)于①：∵f（x+3）=-f（x+

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）=f（x）∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為3．①對(duì)
對(duì)于②：∵y=f（x-

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）是奇函數(shù)∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
又∵函數(shù)f（x）的圖象是由y=f（x-

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）向左平移

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個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

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，0）對(duì)稱(chēng)，故②對(duì)．
對(duì)于③：由②知，對(duì)于任意的x∈R，都有f（-

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-x）=-f（-

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+x），用

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+x換x，可得：f（-

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-x）+f（x）=0
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

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）對(duì)于任意的x∈R都成立．
令t=

3

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+x，則f（-t）=f（t），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，③對(duì)．
對(duì)于④：∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，④不對(duì)．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性等，抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來(lái)說(shuō)的，它雖然沒(méi)有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．是中檔題．