設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+1
x
(x≠0)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若0＜x＜1，判斷f（x）的單調(diào)性，用定義證明，并比較f（sinα）與f(cosα)(0＜α＜
π
2
)的大�。�
分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
因?yàn)?span id="80cwyyu" class="MathJye">f(-x)=
x2+1
-x
=-
x2+1
x
=-f(x)，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)0＜x1＜x2＜1，
則f(x2)-f(x1)=
x
2
2
+1
x2
-
x
2
1
+1
x1
=(x2-x1)?
x1x2-1
x1x2
，
因?yàn)?＜x1＜x20，x1x2＜1，
所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)?
x1x2-1
x1x2
＜0，
即f（x2）＜f（x1），所以函數(shù)在（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)．
當(dāng)0＜α＜
π
4
時(shí)，cosα＞sinα，此時(shí)f（sinα）＞f（cosα），
當(dāng)α=
π
4
時(shí)，cosα=sinα，此時(shí)f（sinα）=f（cosα），
當(dāng)
π
4
＜α＜
π
2
時(shí)，cosα＜sinα，此時(shí)f（sinα）＜f（cosα）．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)單調(diào)性的證明和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵，要注意對角α進(jìn)行分類討論，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當(dāng)p1，p2，…，pn均為正數(shù)時(shí)，稱
n
p1+p2+…+pn
為p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且其前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n+1
．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=
an
2n+1
（n∈N*），試比較cn+1與cn的大��；
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
，是否存在最大的實(shí)數(shù)λ，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對于一切正整數(shù)n，都有f（x）≤0恒成立？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c，(x＜0)
-x+3，(x≥0)
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）若方程f（x）=k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx-
1
4
為偶函數(shù)，且f(cos
B
2
)=0．
（1）求角B的大�。�
（2）若△ABC的面積為
3
4
，其外接圓的半徑為
2
3
3
，求△ABC的周長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c，-4≤x＜0
-x+3，0≤x≤4
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出函數(shù)f（x）的定義域、值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2-x+n
x2+x+1
(x∈R，x≠
n-1
2
，x∈N*)，f（x）的最小值為an，最大值為bn，記cn=（1-an）（1-bn）
則數(shù)列{cn}是
常數(shù)
常數(shù)
數(shù)列．（填等比、等差、常數(shù)或其他沒有規(guī)律）

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