Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-2x�。╝為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+x²+1有極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），當(dāng)a=1時，
由f′（x）＞0得，
由f′（x）＜0，得
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為-------（4分）
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），即2x-a＞0
∵函數(shù)在（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，∴∴a≤2-----（9分）
（3）由題意：g（x）=alnx-2x+x²+1∴，
若函數(shù)g（x）有極值點，∵x＞0
∴2x²-2x+a=0有兩解且在（0，+∞）至少有一解，----------（11分）
由△=4-8a＞0得------①----------（13分）
由2x²-2x+a=0在（0，+∞）至少有一解，得a=-2x²+2x在（0，+∞）至少有一解
設(shè)y₁=a，y₂=-2x²+2x（x＞0），則有兩圖象至少有一個交點，
解得------②----------（15分）
由①②得，
綜上：當(dāng)時函數(shù)g（x）有極值點----------（16分）
分析：（1）把a=1代入，先求定義域，在求導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）先求導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化成f'（x）≤0在（1，+∞）內(nèi)恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出a的范圍．
（3）函數(shù)g（x）=f（x）+x²+1有極值點，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0至少一解（且導(dǎo)數(shù)在點的兩側(cè)符號不相同），求出a的范圍即可．
點評：本題考查了函數(shù)在某點取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由f′（x）＞0（＜0）得函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間，而在解不等式f′（x）＞0（＜0）時，如果含有參數(shù)時，要注意對參數(shù)分類討論．