Question

已知f（a）=

∫

1 0

[2a²-（lna）x³]dx（a＞0），求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先利用定積分求出f（a），然后求導(dǎo)，進(jìn)一步求最小值．

解答： 解：f（a）=

∫

1 0

[2a²-（lna）x³]dx=[2a²x-

1

4

（lna）x⁴]|

1 0

=2a²-

1

4

lna，
f′（a）=4a-

1

4a

，令f′（a）=0，則a=

1

4

，
a∈（0，

1

4

）時(shí)，f′（a）＜0，f（a）為減函數(shù)；
a∈（

1

4

，+∞）時(shí)，f′（a）＞0，f（a）為增函數(shù)．
所以f（x）的最小值為f（

1

4

）=2×

1

16

-

1

4

ln

1

4

=

1

8

+

1

2

ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分的計(jì)算以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．