設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù).已知對于任意正數(shù)x,都有f[f(x)+
2
x
]=
1
f(x)
,且f(1)=a>0.
(Ⅰ)求f(a+2),并求a的值;
(Ⅱ)令an=
1
f(n)
,n∈N*
,證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
分析:(Ⅰ)對x進行賦值,先取x=1,然后取x=a+2,建立等量關(guān)系,最后根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)于a的方程,解之即可;
(Ⅱ)對x進行賦值,先取x=n,然后取x=x=
1
an
+
2
n
,建立等量關(guān)系,最后根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)于an的方程,求出an,再根據(jù)等差數(shù)列的定義進行判定即可.
解答:解:(Ⅰ)取x=1,則f(a+2)=
1
a
;
再取x=a+2,則f(
1
a
+
2
a+2
)=a=f(1)

∵f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)∴
1
a
+
2
a+2
=1
,
解之得:a=2,或a=-1(舍去).
(Ⅱ)取x=n,
f[f(n)+
2
n
]=
1
f(n)
f[
1
an
+
2
n
]=
1
f(n)
=an

再取x=
1
an
+
2
n
,
f[f(
1
an
+
2
n
)+
2
1
an
+
2
n
]=
1
f(
1
an
+
2
n
)
=f(n)

∵f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)
an+
2
1
an
+
2
n
=n
,即2an2+nan-n2=0
解之得:an=
n
2
,或an=-n(舍去)
an+1-an=
1
2
(常數(shù))n∈N*
所以,數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
點評:本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用,以及等差數(shù)列的求和等有關(guān)知識,屬于中檔題之列.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
12
對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
 

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例2.設(shè)f(x)是定義在[-3,
2
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x
-2)
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x
a
)(a≠0)

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(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)對任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;
(Ⅲ)對任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|≤1.

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(2013•內(nèi)江一模)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2)且當(dāng)x∈[-2,0]時,f(x)=(
1
2
x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不同的實數(shù)根,則a的取值范圍是
34
,2)
34
,2)

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