Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)若a>0，設是函數(shù)圖象上的任意兩點，記直線AB的斜率為k，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（i）當時，的單增區(qū)間為，無單減區(qū)間.

（ii）當時，的單增區(qū)間為，，

單減區(qū)間為.

（iii）當時，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.

（2）見解析．

【解析】

試題（1）首先求出函數(shù)的導數(shù)，注意到函數(shù)的定義域是；不等式，故只需按的正，負和零分別討論，在討論的過程中當的情形注意再按兩根的大小討論即可求得函數(shù)的單調區(qū)間．

（2）先求得，再將直線AB的斜率為用表示出來得到，然后用比差法求得注意到，故欲證，只須證明：因為，故即證：，

令，構造函數(shù)，再利用導數(shù)證明在上是增函數(shù)，從而可得，進而得所證不等式成立．

試題解析：（1）解：1分

（i）當時，恒成立，即恒成立，

故函數(shù)的單增區(qū)間為，無單減區(qū)間. 2分

（ii）當時，，

解得：

∵，∴函數(shù)的單增區(qū)間為，，

單減區(qū)間為. 4分

（iii）當時，由解得：.

∵，而此時，∴函數(shù)的單增區(qū)間為，

單減區(qū)間為. 6分

綜上所述：

（i）當時，的單增區(qū)間為，無單減區(qū)間.

（ii）當時，的單增區(qū)間為，，

單減區(qū)間為.

（iii）當時，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為. 7分

（2）證明：

由題，

則：

9分

注意到，故欲證，只須證明：. 10分

因為，故即證：

11分

令，12分

則：故在上單調遞增.

所以：13分

即：，即：所以：. 14分