Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V—ABC的底面ABC，等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°,設(shè)AC=2a，BC=a.

(1)求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

（2）求點(diǎn)A到平面VBC的距離；

（3）求二面角A—VB—C的大小.

Answer 1

解法一：(1)證明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC,?

∴B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC，?

∴B₁C₁⊥A₁C₁.?

又∵平面AB₁C⊥平面ABC,?

平面AB₁C∩平面ABC=AC,?

∴BC⊥平面AB₁C,?

∴BC⊥AB₁,?

∴B₁C₁⊥AB₁.?

又A₁C₁∩B₁C₁=C₁.?

B₁C₁∩AB₁=B₁.?

∴B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線.?

(2)解法1：過A作AD⊥B₁C于D，?

∵△AB₁C為正三角形，

∴D為B₁C的中點(diǎn)，?

∵BC⊥平面AB₁C?

∴BC⊥AD.又B₁C∩BC=C，

∴AD⊥平面VBC，?

∴線段AD的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面VBC的距離.?

在正△AB₁C中，AD=·AC=×2a=a.?

∴點(diǎn)A到平面VBC的距離為.?

解法2：取AC中點(diǎn)O連結(jié)B₁O，則B₁O⊥平面ABC，且B₁O=a.?

由（1）知BC⊥B₁C，設(shè)A到平面VBC的距離為x,?

∴,?

即×BCACB₁O=×BCB₁Cx.?

解得x=a,?

即A到平面VBC的距離為a.?

(3)解：過D點(diǎn)作DH⊥VB于H，連AH，由三垂線定理知AH⊥VB，?

∴∠AHD是二面角A—VB—C的平面角.?

在Rt△AHD中，?

AD=a，△B₁DH∽△B₁BC，=.?

∴DH==a.?

∴tan∠AHD==.?

∴∠AHD=arctan.?

所以，二面角A—VB—C的大小為arctan.

解法二：取AC中點(diǎn)O連B₁O，已知OB₁⊥底面ABC，過O從直線OE∥BC交AB于E.?

取O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，OE，OC，OB₁所在直線分別為x軸,y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.?

則A（0,-a,0）,B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,a).??

(1)    證明：∵=(-a,0,0),=(0,a,a),?

∴=(-a,0,0)·(0,a, a)=0,?

∴⊥，?

∴BC⊥AB₁.?

又∵B₁C₁∥BC,?

B₁C₁⊥AB₁，?

由已知BC⊥AC，?

AC∥A₁C₁.∴BC⊥A₁C₁.?

而BC∥B₁C₁，?

∴B₁C₁⊥A₁C₁.又B₁C₁與AB₁，A₁C₁顯然相交，∴B₁C₁是AB₁與A₁C₁的公垂線.?

(2)解：設(shè)平面VBC的一個(gè)法向量n=(x,y,z).?

又=（0，-a，a）?

由

取z=1　得n=(0，，1).?

點(diǎn)A到平面VBC的距離，即在平面VBC的法向量n上的投影的絕對(duì)值.

∵=(0,a,a),設(shè)所求距離為d.?

則d=|||·cos〈·n〉|?

|||·|

==a.?

所以，A到平面VBC的距離為a.?

(3)解：設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量m=(x₁,y₁,z₁),?

由

取z₁=1,m=(2,-,1).?

∴cos〈m,n〉==-.?

∵二面角A—VB—C為銳角，

∴二面角A—VB—C的大小為arccos.