給出以下四個(gè)命題，其中所有正確命題的序號(hào)為：
 
．
①已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
OA
，
OB
為不共線向量，又
OP
=a1
OA
+a2014
OB
，若A、B、P三點(diǎn)共線，則S2014=1007；
②“a=
∫
1
0
1-x2
dx”是“函數(shù)y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期為4”的充要條件；
③設(shè)函數(shù)f(x)=
2014x+1+2013
2014x+1
+2014sinx(x∈[-
π
2
，
π
2
])的最大值為M，最小值為m，則M+m=4027；
④已知函數(shù)f（x）=|x2-2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，則動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1．
考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用
專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用
分析：①由共線向量基本定理求得a1+a2014=1，由此得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得S2014=1007，從而說(shuō)明①正確；
②由定積分的幾何意義求得a=
π
4
，化簡(jiǎn)函數(shù)y=cos2（ax）-sin2（ax），當(dāng)a=
π
4
時(shí)，函數(shù)最小正周期為4，反之，a=±
π
4
，由此說(shuō)明命題②錯(cuò)誤；
③化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），判斷其單調(diào)性，由單調(diào)性求得最大值和最小值，作和后得到結(jié)論正確；
④由函數(shù)f（x）=|x2-2|，結(jié)合f（a）=f（b），且0＜a＜b，得到動(dòng)點(diǎn)P（a，b）的軌跡為圓a2+b2=4的左上半圓，從而得到到直線4x+3y-15=0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式求得最小值，說(shuō)明結(jié)論錯(cuò)誤．
解答： 解：對(duì)于①，由
OP
=a1
OA
+a2014
OB
，且A、B、P三點(diǎn)共線，
∴a1+a2014=1，
∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a1+a1+2013d=1，
∴a1=
1-2013d
2
，
∴S2014=2014a1+
2014×2013d
2
=2014×
1-2013d
2
+
2014×2013d
2
=1007．
∴命題①正確；
對(duì)于②，a=
∫
1
0
1-x2
dx，其幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四分之一圓的面積，
∴a=
π
4
．
函數(shù)y=cos2（ax）-sin2（ax）=cos2ax=cos
π
2
x，周期T=
2π
π
2
=4．
由y=cos2（ax）-sin2（ax）=cos2ax，若最小正周期為4，則
2π
|2a|
=4，解得a=±
π
4
．
∴命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，函數(shù)f(x)=
2014x+1+2013
2014x+1
+2014sinx(x∈[-
π
2
，
π
2
])
=
2014•2014x+2014-1
2014x+1
+2014sinx=
2014(2014x+1)-1
2014x+1
+2014sinx
=2014-
1
2014x+1
+2014sinx．
∵y=2014x為增函數(shù)，
∴2014-
1
2014x+1
+2014sinx在[-
π
2
，
π
2
]上為增函數(shù)，
∴M+m=f(
π
2
)+f(-
π
2
)=4028-
1
2014
π
2
+1
+2014-
1
2014-
π
2
+1
-2014=4027．
∴命題③正確；
對(duì)于④，∵函數(shù)f（x）=|x2-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b2-2=2-a2，
即 a2+b2=4，故動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在圓a2+b2=4的左上半圓上，
動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為點(diǎn)（
2
，
2
）到直線4x+3y-15=0的距離，設(shè)為d，
則d=
|4
2
+3
2
-15|
42+32
=3-
2
．
∴命題④錯(cuò)誤．
∴正確命題的序號(hào)是①③．
故答案為：①③．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和及動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，考查了學(xué)生的靈活變形能力，正確解答該題還需要學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，命題④的判斷是易錯(cuò)點(diǎn)，
該題屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），定義它們之間的一種“折線距離”：
d（A，B）=|x2-x1|+|y2-y1|．則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①若A（-1，3），B（1，0），則d（A，B）=5；
②若點(diǎn)C在線段AB上，則d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；
③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；
④在平行四邊形ABCD中，一定有d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D）．
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線y=x+1交x軸于點(diǎn)P，交橢圓
x2
a2
-
y2
b2
=1于相異兩點(diǎn)A、B，且
PA
=-3
PB
．
（1）求a的取值范圍；
（2）將弦AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，n），求證：m+7n=-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且兩條曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，4）．
（1）求這兩條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C1的焦點(diǎn)F與橢圓C2：x2+
4y2
3
=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求這條拋物線C1方程；
（Ⅱ）設(shè)圓M過(guò)A（1，0），且圓心M在C1的軌跡上，BD是圓M在y軸的截得的弦，當(dāng)M過(guò)去時(shí)弦長(zhǎng)BD是否為定值？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

投擲兩顆相同的正方體骰子（骰子質(zhì)地均勻，且各個(gè)面上依次標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6）一次，則兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)之積等于6的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象和直線y=x無(wú)交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①方程f[f（x）]=x一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
②若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；
③若a＜0，則必存在實(shí)數(shù)x0，使f[f（x0）]＞x0；
④函數(shù)g（x）=ax2-bx+c（a≠0）的圖象與直線y=-x一定沒(méi)有交點(diǎn)，
其中正確的結(jié)論是
 
（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={1，2，3，4，5}，從A的非空子集中任取一個(gè)，該集合中所有元素之和為奇數(shù)的概率是
 
．

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甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，則恰好甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是（　�。�
A、
1
3
B、
2
3
C、
3
4
D、
3
5

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