四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥PC，PD⊥CD，且PA＝2，點E滿足

(Ⅰ)求證：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角E－AE－D的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)正方形ABCD中，，

　　又，所以

　　所以　2分

　　又

　　

　　　4分

　　又

　　　5分

　　(Ⅱ)方法一：

　　在平面PAD中，過E作//，交AD于F，過F作AC的垂線，垂足為G，連結(jié)EG，

　　平面ABCD，

　　平面ABCD，

　　又，平面EGF

　　故，所以為二面角E－AC－D的平面角　9分

　　又EF＝，在ACD中，FG＝

　　EG＝　11分

　　　12分

　　方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

　　則C(2，2，0)，E()，＝(2，2，0)，＝()　7分

　　設(shè)平面ACE的法向量＝(x，y，z)，則

　　

　　又平面ACD的法向量為＝(0，0，2)　10分

　　　11分

　　由圖可知，二面角的平面角為銳角，

　　二面角E－AC－D的余弦值為　12分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭錐D一ECB的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在四棱錐P一ABCD中，二面角P一AD一B為60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．PA=PD=AD=2，點M在線段PC上 PM=
13
PC
（1）證明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011—2012學(xué)年浙江省海寧中學(xué)高二期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

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