已知拋物線C的頂點為坐標原點，其焦點F（c，0）（c＞0）到直線l：x-y+2=0的距離為
3
2
2
．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若M是拋物線C上異于原點的任意一點，圓M與y軸相切．
（i）試證：存在一定圓N與圓M相外切，并求出圓N的方程；
（ii）若點P是直線l上任意一點，A，B是圓N上兩點，且
AB
=λ
BN
，求
PA
•
PB
的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線C的方程為y2=4cx，由
|c-0+2|
2
=
3
2
2
，能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）（i）設(shè)圓M與y軸的切點是點M′，連結(jié)MM′交拋物線C的準線于點M''，則|MF|=|MM''|=rM+1，由已知條件推導出圓N即為圓F，由此能求出圓N的方程．
（ii）由
AB
=λ
BN
，知AB為圓N直徑，由此能求出
PA
•
PB
的取值范圍．
解答： （Ⅰ）解：依題意，設(shè)拋物線C的方程為y2=4cx，
由
|c-0+2|
2
=
3
2
2
，結(jié)合c＞0，解得c=1．
所以拋物線C的方程為y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)圓M與y軸的切點是點M′，
連結(jié)MM′交拋物線C的準線于點M''，則|MF|=|MM''|=rM+1，
所以圓M與以F為焦點，1為半徑的圓相切，圓N即為圓F，
圓N的方程為（x-1）2+y2=1．…（8分）
（ii）解：由
AB
=λ
BN
，知AB為圓N直徑，…（9分）
從而
PA
•
PB
=（
PN
+
NA
）•（
PN
+
NB
）
=
PN
2+
PN
•（
NA
+
NB
）+
NA
•
NB

=
PN
2-1≥（
3
2
2
）2-1=
7
2
．
所以
PA
•
PB
的取值范圍是[
7
2
，+∞）．…（13分）
點評：本題考查拋物線方程的求法，考查兩圓外切的證明，考查圓的方程的求法，考查向量數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．
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化簡：(
27a6
8b-3
)-
1
3
．

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已知數(shù)列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N+）．請用數(shù)學歸納法證明：當n∈N+時，an＜an+1．

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已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P（-3，
3
）．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函數(shù)y=
3
f（
π
2
-2x）-2f2（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的值域．

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已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna，a＞1．
（1）求證函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)y=|f（x）-b+
1
b
|-3有四個零點，求b的取值范圍；
（3）若對于任意的x∈[-1，1]時，都有f（x）≤e2-1恒成立，求a的取值范圍．

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求滿足下列條件的點的軌跡方程
①已知動圓過定點P（1，0）且與直線l：x=-1相切，求動圓圓心M的軌跡方程．
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比較a3+a+1與a2+a+1的大小．

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．（結(jié)果用區(qū)間表示）

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設(shè)a，b均為正的常數(shù)，且x＞0，y＞0，
a
x
+
b
y
=1，則x+y的最小值為
 
．

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