(1)點M到點F(2,0)的距離比它到直線x=-3的距離小1,求點M滿足的方程.
(2)曲線上點M(x,y)到定點F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離比是常數(shù)2,求曲線方程.
分析:(1)由題意得,點M(x、y)到點F(2,0)的距離和到直線x+2=0的距離相等,點M的軌跡是以點F為焦點,直線x+2=0為準線的拋物線,方程為 y
2=2Px,
=2.
(2)設出動點的坐標,將已知條件中的幾何關系用坐標表示,化簡方程,據(jù)橢圓方程的形式判斷出動點的軌跡形狀.
解答:解:(1)∵動點M(x、y)到點F(2,0)的距離比到直線x+3=0的距離小1,
∴點M(x、y)到點F(2,0)的距離和到直線x+2=0的距離相等,
點M的軌跡是以點F為焦點,直線x+2=0為準線的拋物線.
∴
=2,∴P=4,故拋物線方程為y
2=8x,
(2)設d是點M到直線l:x=8的距離,根據(jù)題意得,點M的軌跡就是集合P={M|
=2},(4分)
由此得
=2.將上式兩邊平方,并化簡,得
-=1.
曲線方程為:
-=1.
點評:本題考查用定義法求點的軌跡方程,拋物線的定義和性質的應用.判斷動點的軌跡問題常常通過求出動點的軌跡方程,據(jù)方程的特殊形式判斷出動點的軌跡.