Question

（1）點M到點F（2，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1，求點M滿足的方程．
（2）曲線上點M（x，y）到定點F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離比是常數(shù)2，求曲線方程．

Answer 1

分析：（1）由題意得，點M（x、y）到點F（2，0）的距離和到直線x+2=0的距離相等，點M的軌跡是以點F為焦點，直線x+2=0為準線的拋物線，方程為 y²=2Px，

P

2

=2．
（2）設出動點的坐標，將已知條件中的幾何關系用坐標表示，化簡方程，據(jù)橢圓方程的形式判斷出動點的軌跡形狀．

解答：解：（1）∵動點M（x、y）到點F（2，0）的距離比到直線x+3=0的距離小1，
∴點M（x、y）到點F（2，0）的距離和到直線x+2=0的距離相等，
點M的軌跡是以點F為焦點，直線x+2=0為準線的拋物線．
∴

P

2

=2，∴P=4，故拋物線方程為y²=8x，
（2）設d是點M到直線l：x=8的距離，根據(jù)題意得，點M的軌跡就是集合P={M|

|MF|

d

=2}，（4分）
由此得

(x-2)2+y2

|8-x|

=2．將上式兩邊平方，并化簡，得

x2

16

-

y2

12

=1．
曲線方程為：

x2

16

-

y2

12

=1．

點評：本題考查用定義法求點的軌跡方程，拋物線的定義和性質的應用．判斷動點的軌跡問題常常通過求出動點的軌跡方程，據(jù)方程的特殊形式判斷出動點的軌跡．