Question

在平面直角坐標系xOy中，點F與點E（-

2

，0）關于原點O對稱，M是動點，且直線EM與FM的斜率之積等于-

1

2

．設點M的軌跡為曲線C，經過點(0，

2

)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個不同的交點P和Q．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）設A(

2

，0)，曲線C與y軸正半軸的交點為B，是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設點M（x，y），由題意得點F（

2

，0），

y-0

x+ 2

•

y-0

x- 2

= -1，化簡可得 x²+y²=2，
故曲線C的方程為  x²+y²=2，表示以原點為圓心，以

2

為半徑的圓．
（Ⅱ）∵點(0，

2

)是圓和y軸的交點，經過點(0，

2

)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個不同的交點P和Q，
∴線l與曲線C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ） 把直線l的方程 y-

2

=k（x-0）代入曲線C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2

2

kx=0．
設P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），則  x₁+x₂=-

2 2 k

1 +k2

，x₁•x₂=0．
∴

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，kx₁+

2

+kx₂+

2

 ）=（-

2 2 k

1 +k2

，-

2 2 k2

1 +k2

+2

2

 ）．
由B（0，

2

），A(

2

，0)，∴

AB

=（-

2

，

2

 ）．∵向量

OP

+

OQ

與

AB

共線，
∴-

2 2 k

1 +k2

•

2

-（-

2

）（-

2 2 k2

1 +k2

+2

2

 ）=0，

4-4k

1+k2

=0，∴k=1．
即存在常數(shù) k=1 滿足題中的條件．