設(shè)a,b,c為△ABC的三條邊,求證:a2+b2+c2<2ab+2bc+2ac.
證法一:在△ABC中,a<b+c,b<a+c,c<b+a,則a2<a(b+c),b2<b(a+c),c2<c(b+a). ∴a2+b2+c2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b), 即a2+b2+c2<2ab+2bc+2ac. 證法二:在△ABC中,設(shè)a>b>c,∴0<a-b<c,0<b-c<a,0<a-c<b. ∴(a-b)2<c2,(b-c)2<a2,(a-c)2<b2. ∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2<c2+a2+b2. 即a2+b2+c2<2ab+2bc+2ac. 證法三:在△ABC中,設(shè)a,b,c三邊所對(duì)的角分別為A,B,C,則由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 則a2+b2+c2=(b2+c2-2bccosA)+(a2+c2-2accosB)+(a2+b2-2abcosC), 即a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2accosB. 又在△ABC中,cosA<1,cosB<1,cosC<1, ∴2abcosC+2bccosA+2accosB<2ab+2bc+2ca. ∴a2+b2+c2<2ab+2bc+2ac. 思路分析:本題看似是一道與公式a2+b2≥2ab(a,b∈R)有關(guān)的題目,又似與二次函數(shù)有關(guān),但實(shí)際上這兩種思路都達(dá)不到目的.其實(shí)本題的關(guān)鍵在于△ABC中隱含的a,b,c的關(guān)系. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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