【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)

當(dāng)時,求證:過點有三條直線與曲線相切;

當(dāng)時,,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】I詳見解析;II.

【解析】

解法一:當(dāng)時,,

設(shè)直線與曲線相切,其切點為,

則曲線在點處的切線方程為:

因為切線過點,所以,

,∴

設(shè),

,

在三個區(qū)間上至少各有一個根

又因為一元三次方程至多有三個根,所以方程恰有三個根,

故過點有三條直線與曲線相切.

∵當(dāng)時,,即當(dāng)時,

∴當(dāng)時,,

設(shè),則,

設(shè),則

1當(dāng)時,∵,∴,從而當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立

上單調(diào)遞增,

又∵,∴當(dāng)時,,從而當(dāng)時,

上單調(diào)遞減,又∵,

從而當(dāng)時,,即

于是當(dāng)時,

2當(dāng)時,令,得,∴,

故當(dāng)時,,

上單調(diào)遞減,

又∵,∴當(dāng)時,

從而當(dāng)時,

上單調(diào)遞增,又∵

從而當(dāng)時,,即

于是當(dāng)時,

綜合得的取值范圍為

解法二:當(dāng)時,,

,

設(shè)直線與曲線相切,其切點為

則曲線在點處的切線方程為,

因為切線過點,所以,

,∴

設(shè),則,令

當(dāng)變化時,,變化情況如下表:

+

0

-

0

+

極大值

極小值

恰有三個根,

故過點有三條直線與曲線相切.

同解法一.

練習(xí)冊系列答案
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定義學(xué)生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下:

分數(shù)

滿意度指數(shù)

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從該校在,兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取1人進行調(diào)查,試估計其對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;

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