Question

已知橢圓C₁：的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）點(diǎn)N是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，連接
NP并延長(zhǎng)交橢圓右準(zhǔn)線與點(diǎn)T，求的取值范圍；
（3）設(shè)曲線與y軸的交點(diǎn)為M，過M作兩條互相垂直的直線與曲線C₂、橢圓C₁相交于點(diǎn)A、D和B、E，（如圖），記△MAB、
△MDE的面積分別是S₁，S₂，當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的方程組，解這個(gè)方程組即可求出參數(shù)，進(jìn)而求出橢圓C₁的方程．
（2）由題設(shè)條件行求出N（-2，0），橢圓右準(zhǔn)線：x=，設(shè)P（x，y），則=，再由-2≤x≤2，能求出的取值范圍．
（3）先把直線MA的方程與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式求出|MA|，同樣的方法求出|MB|進(jìn)而求出S₁，同理可求S₂．再代入已知就可知道是否存在直線l滿足題中條件了．
解答：解：（1）∵橢圓C₁：的離心率為，
一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴a=2，c=，b=，
∴橢圓C₁的方程為：．
（2）∵N是橢圓C₁：的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，
∴N（-2，0），橢圓右準(zhǔn)線：x=，
設(shè)P（x，y），則=，
∵-2≤x≤2，
∴=∈[，+∞）．
故的取值范圍是[，+∞）．
（3）設(shè)直線MA的斜率為k₁，則直線MA的方程為y=k₁x-1．
由，解得，或．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k₁，k₁²-1）．
又直線MB的斜率為-，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-）．
于是S₁=|MA|•|MB|=•|k₁|••|-|=．
由，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．
解得，或，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．
又直線ME的斜率為-．同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）．
于是S₂=|MD|•|ME|=．
故=，解得k₁²=2，或k₁²=．
又由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得，k==k₁-．所以k=±．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程為y=x和y=-．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)橢圓與拋物線以及直線與拋物線和直線與橢圓的綜合問題的考查．是一道整理過程很麻煩的題，需要要認(rèn)真，細(xì)致的態(tài)度才能把題目作好．