如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點.
(1)證明AD⊥D1F;  
(2)求AE與D1F所成的角;
(3)證明面AED⊥面A1FD1
(4)設(shè)AA1=2,求三棱錐F-A1ED1的體積VF-A1ED1

解法一:(1)∵AC1是正方體,∴AD⊥面DC1
又D1F?面DC1,∴AD⊥D1F.
(2)取AB中點G,連接A1G,F(xiàn)G.
因為F是CD的中點,所以GF、AD平行且相等,
又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四邊形,A1G∥D1F.
設(shè)A1G與AE相交于點H,則∠AHA1是AE與D1F所成的角,
因為E是BB1的中點,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,
∴∠GA1A=∠GAH,從而∠AHA1=90°,即直線AE與D1F所成角為直角.
(3)由(1)知AD⊥D1F,由(2)知AE⊥D1F,
又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.
又因為D1F?面A1FD1
所以面AED⊥面A1FD1
(4)連接GE,GD1
∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1
∵AA1=2,
∴面積S△A1GE=SABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=
=

解法二:利用用向量求解
解:設(shè)正方體的棱長為2,以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(2,0,0),F(xiàn)(0,1,0),E(2,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
(1)∵,得,∴AD⊥D1F;
(2)又,得=
∴AE與D1F所成的角為90°
(3)由題意:,
設(shè)平面AED的法向量為,設(shè)平面A1FD1的法向量為,



=
∴面AED⊥面A1FD1
(4)∵AA1=2,,
平面A1FD1的法向量為
=,
∴E到平面A1FD1的距離=,

分析:解法一:傳統(tǒng)證法.(1)利用線面垂直,證明線線垂直;
(2)設(shè)A1G與AE相交于點H,先證∠AHA1是AE與D1F所成的角,再求直線AE與D1F所成角;
(3)利用線面垂直,證明面面垂直;
(4)利用轉(zhuǎn)換底面的方法,求三棱錐的體積;
解法二:向量證法.設(shè)正方體的棱長為2,以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(2,0,0),F(xiàn)(0,1,0),E(2,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
(1)利用,可證AD⊥D1F;
(2)求得=,可求AE與D1F所成的角;(3)由題意:
設(shè)平面AED的法向量為,設(shè)平面A1FD1的法向量為,證明平面的法向量垂直,即可證明面AED⊥面A1FD1
(4)先求得=,計算E到平面A1FD1的距離=,即可求三棱錐的體積.
點評:本題重點考查線面垂直、面面垂直,考查三棱錐的體積,兩法并用,注意比較,細(xì)細(xì)體會.
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精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h,則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,記M=
1
PO2
,N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
,那么M、N的大小關(guān)系是
 

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1
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=
1
a2
+
1
b2
,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,類比平面幾何中的結(jié)論,得到此三棱錐中的一個正確結(jié)論為
 

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