Question

下面有五個(gè)命題
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是2π．
②終邊在y軸上的角集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}．
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)．
④函數(shù)y=

2sin2x+1

sin2x

，x∈(0，

π

2

)的最小值為

3

．
⑤y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．
其中真命題的序號(hào)是

③④⑤

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答：解：①y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=-cos2x，所以周期T=

2π

2

=π，所以①錯(cuò)誤．
②終邊在y軸上的角集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}，所以②正確．
③設(shè)f（x）=sinx-x，則f'（x）=cosx-1≤0，所以函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減，因?yàn)閒（0）=0，所以f（x）=sinx-x=0只有一個(gè)根，所以y=sinx和函數(shù)y=x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以③周期．
④因?yàn)閥=

2sin2x+1

sin2x

=

1-cos2x+1

sin2x

=

2-cos2x

sin2x

，所以ysin2x=2-cos2x，即ysin2x+cos2x=2，所以

1+y2

sin?(2x+θ)=2，θ為參數(shù)，即sin?(2x+θ)=

2

1+y2

≤1，
所以y≥

3

或y≤-

3

（舍去），所以④正確．
⑤將y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到，y=3sin?(2(x-

π

6

)+

π

3

)=3sin?2x，所以⑤正確．
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握相應(yīng)的三角變換公式．