Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2sinθ•x-1（θ為常數(shù)），x∈[-

3

2

，

1

2

]．
（1）若f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，求θ的取值范圍；
（2）當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可求得結(jié)論；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+2sinθ，
∵f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在x∈[-

3

2

，

1

2

]上恒成立，則有
sinθ≥-x在x∈[-

3

2

，

1

2

]上恒成立，
又∵（-x）_max=

3

2

，
∴sinθ≥

3

2

，
∴θ∈[

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z；
（2）∵f′（x）=2x+2sinθ=2（x+sinθ），
∴f″（x）=2＞0，
∴f′（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，f′（x）_min=-

3

+2sinθ，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f′（x）_max=1+2sinθ，
∴θ∈[

π

3

，

π

2

]時(shí)，f′（x）≥0，
此時(shí)f（x）_min=f（-

3

2

）=-

3

sinθ-

1

4

，
當(dāng)θ∈[0，

π

3

]時(shí)，f′（x）≤0，
∴f(x)min=

- 3 sinθ- 1 4 ，θ∈[ π 3 ， π 2 ] -sin2θ-1，θ∈[0， π 3 )

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，屬難題．