Question

設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)r（t），若球的體積以均勻速度

1

2

增長，則球的表面積的增長速度與球半徑的乘積為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)球的體積以均勻速度c增長，求出球的體積的表達(dá)式，然后求出球的導(dǎo)數(shù)，即可求出球的表面積的增長速度與球半徑的比例關(guān)系．

解答：解：設(shè)球的體積以均勻速度c增長，
由題意可知球的體積為V（t）=

4

3

πR3(t)，則c=V'（t）=4πR²（t）R'（t），
則

c

R(t)R′(t)

=4πR(t)，
而球的表面積為S（t）=4πR²（t），
∴V_表=S′（t）=4πR²（t）=8πR（t）R′（t），
即 V_表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=

2c

R(t)R′(t)

•R′(t)=

2c

R(t)

，
即球的表面積的增長速度與球半徑的乘積為V_表•R（t）=2c，
∵c=

1

2

，
∴V_表•R（t）=2c=

1

2

×2=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查球的體積公式和表面積公式之間的對應(yīng)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性強，難度較大．