已知
m
=(cosx+
3
sinx，1)，
n
=(2cosx，-y)，滿足
m
•
n
=0．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(
A
2
)=3，且a=2，求△ABC面積的最大值．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式及三角函數(shù)的恒等變換，根據(jù)
m
•
n
=0求得f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1，令2x+
π
6
∈[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]，求得x的范圍，即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f(
A
2
)=3求得A=
π
3
，在△ABC中由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再由S△ABC=
1
2
bcsinA求出它的最大值．
解答：解：（1）∵
m
•
n
=2cos2x+2
3
sinxcosx-y=
3
sin2x+cos2x+1-y=2sin(2x+
π
6
)+1-y=0，所以f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1．…（3分）
令2x+
π
6
∈[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]，得x∈[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，(k∈Z)，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，(k∈Z)．…（6分）
（2）∵f(
A
2
)=2sin(A+
π
6
)+1=3，∴sin(A+
π
6
)=1，又A+
π
6
∈(
π
6
，
7π
6
)，∴A+
π
6
=
π
2
，∴A=
π
3
．…（8分）
在△ABC中由余弦定理有，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc，
可知bc≤4（當且僅當b=c時取等號），∴S△ABC=
1
2
bcsinA≤
1
2
•4•
3
2
=
3
，
即△ABC面積的最大值為
3
．…（12分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，余弦定理的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
m
=(asinx，cosx)，
n
=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f(x)=
m
•
n
滿足f(
π
6
)=2，且f（x）的導函數(shù)f'（x）的圖象關(guān)于直線x=
π
12
對稱．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+log2k=0在區(qū)間[0，
π
2
]上總有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方程cosx-sinx=m-1無實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•深圳二模）已知
m
=(cosx，
3
sinx)，
n
=(cosx，cosx)，設(shè)f(x)=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若b、c分別是銳角△ABC的內(nèi)角B、C的對邊，且b•c=
6
-
2
，f(A)=
1
2
，試求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
m
=(cosx+
3
sinx，1)，
n
=(2cosx，-y)，滿足
m
•
n
=0．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(
A
2
)=3，且a=2，求△ABC面積的最大值．

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