已知函數(shù)f(x)在R上有定義，對任意實數(shù)a＞0和任意實數(shù)x，都有f(ax)＝af(x)．

(1)證明f(0)＝0；

(2)證明f(x)＝其中k和h均為常數(shù)；

(3)當(2)中的k＞0時，設g(x)＝＋f(x)(x＞0)，討論g(x)在(0，＋∞)內的單調性并求極值．

答案：
解析：

　　(1)證明：對于任意的a＞0，x∈R，均有

　　f(ax)＝af(x)　�、�

　　在①中取a＝2，x＝0，即得f(0)＝2f(0)．

　　∴f(0)＝0　�、�

　　(2)證明：當x＞0時，由①得

　　f(x)＝f(x·1)＝xf(1)．

　　取k＝f(1)，則有

　　f(x)＝kx　�、�

　　當x＜0時，由①得

　　f(x)＝f((－x)·(－1))

　�。�(－x)f(－1)．

　　取h＝－f(－1)，則有

　　f(x)＝hx　　④

　　綜合②、③、④得

　　f(x)＝

　　(3)解法一：由(2)中的③知，當x＞0時，g(x)＝，

　　從而(x)＝，x＞0．

　　又因為k＞0，由此可得

　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內單調遞減，在區(qū)間(，＋∞)內單調遞增，

　　在x＝處取得極小值2．

　　解法二：由(2)中的③知，當x＞0時，

　　g(x)＝＋kx．

　　設x1，x2，∈(0，＋∞)，且x1＜x2，則

　　g(x2)－g(x1)＝＋kx2－(＋kx1)

　�。�·＋k(x2－x1)

　�。�k2x1x2－1)．

　　又因為k＞0，所以

　　(ⅰ)當0＜x1＜x2＜時，g(x2)＜g(x1)；

　　(ⅱ)當0＜＜x1＜x2時，

　　g(x2)＞g(x1)．

　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內單調遞減，在區(qū)間(，＋∞)內單調遞增，在x＝處取得極小值2．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f (x)在R上可導，且f (x) = x2 + 2x，則f (1)與f (1)的大小關系是（  ）

A．f (1) = f (1)            B．f (1)＜f (1)      C．f (1)＞f (1)            D．不能確定

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A．(－1,0)∪(1，＋∞)        B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)    D．(－1,0)∪(0,1)

 

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已知函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則f(－2)與f(2)的大小關系為(　　)

A．f(－2)＝f(2)     B．f(－2)>f(2)      C．f(－2)<f(2)         D．不確定

 

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已知函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)=x2+2xf ′(2），則f (-1）與f (1）的大小關系為

A. f（-1）= f（1）             B. f（-1）＞f（1）

C. f（-1）＜ f（1）            D.不確定

 

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