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15.設(shè)f(x)=x43x2+9x44x2+9x(x>0)
(1)將f(x)化成1g2x+a+g2x+b(a,b是不同的整數(shù))的形式;
(2)求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值.

分析 (1)采取分子有理化,以及完全平方式即可求出,
(2)設(shè)h(x)=(x-3x2,x>0當(dāng)x=3x時(shí),即x=3時(shí),h(x)有最小值,則f(x)有最大值,代值計(jì)算即可.

解答 解:(1)f(x)=x43x2+9x44x2+9x=x43x2+9x4+4x29x21xx43x2+9+x44x2+9=1x2+9x23+x2+9x24=1x3x2+3+x3x2+2
(2)設(shè)h(x)=(x-3x2,x>0
當(dāng)x=3x時(shí),即x=3時(shí),h(x)有最小值,則f(x)有最大值,
∴f(x)max=f(3)=13+2=3-2

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的化簡與求值,關(guān)鍵是化簡,屬于中檔題.

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