Question

已知函數(shù)f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若數(shù)列x_n的項(xiàng)滿足x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，試求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想數(shù)列x_n的通項(xiàng)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

（1）∵f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
∴

b+1

(a+1)2

=log₁₆2=

1

4

，

-2b+1

(-2a+1)2

=1
解得：

a=1 b=0

∴函數(shù)f(x)=

1

(x+1)2

（2）由（1）中f(x)=

1

(x+1)2

∴x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
當(dāng)n=1時(shí)，x1=

3

4

．
當(dāng)n=2時(shí)，x2=

4

6

，
當(dāng)n=3時(shí)，x3=

5

8

，
當(dāng)n=4時(shí)，x4=

6

10

（3）由（2）中結(jié)論我們易得：xn=

n+2

2(n+1)

．
當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立
設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即xk=

k+2

2(k+1)

則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk•[1-

1

(k+2)2

]=

k+2

2(k+1)

•[1-

1

(k+2)2

]=

(k+2)+1

2[(k+1)+1]

即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
故xn=

n+2

2(n+1)

．