Question

已知函數(shù)，且.

（1）判斷的奇偶性并說明理由；

（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）若對任意實數(shù)，有成立，求的最小值.

 

Answer 1

（1）是奇函數(shù)；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由條件可求得函數(shù)解析式中的值，從而求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域并判斷其是否關(guān)于原點對稱（這一步很容易被忽略），再通過計算，與進行比較解析式之間的正負，從而判斷的奇偶性；（2）由（1）可知函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法進行判斷求解，（常用的定義法步驟：取值；作差；整理；判斷；結(jié)論）；（3）綜合（1）（2），根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及自變量的范圍，分別求出函數(shù)在最大、最小值，從而得出式子最大值，求出實數(shù)的最小值.

試題解析：（1）即

函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱

是奇函數(shù) 4分

（2）任取

則

在區(qū)間上單調(diào)遞增 8分

（3）依題意只需

又

12分

考點：1.函數(shù)的概念、奇偶性、單調(diào)性、最值；2.不等式.