Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax²+1
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）得最大值；
（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a得取值范圍；
（3）試比較與（n∈N，n≥2）得大小．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=-2x=（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），
且當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得最大值f（1）=0；
（2）g（x）=2lnx-ax²+1+x，g′（x）=-2ax+1=（x＞0），
若g（x）在定義域上單調(diào)遞增，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即-2ax²+x+2≥0恒成立，
也即2a≤恒成立，而=-＞0，
所以2a≤0，即a≤0；
若g（x）在定義域上單調(diào)遞減，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2a≥恒成立，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/242014.png' />=-＞0，所以此時(shí)不等式g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
綜上，a的取值范圍是a≤0；
（3）＞（n∈N，n≥2），證明如下：
由（1）知2lnx-x²+1≤0，即2lnx≤x²-1（x=1時(shí)取等號(hào)），
則當(dāng)x＞1時(shí)，，
所以n≥2時(shí)，=，
所以，，，…，，
以上各式相加得，＞1-+…+=1+-=，
所以＞．
分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得函數(shù)最大值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)g′（x），分情況討論：若g（x）在定義域上單調(diào)遞增，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；若g（x）在定義域上單調(diào)遞減，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，然后分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決；
（3）由（1）可得不等式a=1時(shí)f（x）≤f（1），可得當(dāng)x＞1時(shí)，，則n≥2時(shí)，=，分別令n=2，3，…，n可得n-1個(gè)不等式，相加后化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，（3）的解決關(guān)鍵是利用（1）問結(jié)論構(gòu)造恰當(dāng)不等式．