Question

已知橢圓的離心率為，為橢圓的左右焦點(diǎn)，；分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)(如圖) . 若四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)任意作一條直線，交拋物線于兩點(diǎn). 證明：以為直徑的所有圓是否過(guò)拋物線上一定點(diǎn).

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為,

由已知,,則，又,

，    ，所求的橢圓方程為.  ….…6分

(2) 根據(jù)題意知拋物線方程為: ，設(shè)滿(mǎn)足題意的點(diǎn)為，

設(shè)其中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052515442859372658/SYS201205251546533437323665_DA.files/image014.png">是直徑，所以，

  ，

整理為：   …… ……（※）

同時(shí)，

整理為：  代入點(diǎn)得：

即有：,將其代入（※）式中整理為：

顯然時(shí)上式恒成立, 進(jìn)而算得，所以為定點(diǎn)，從而說(shuō)明滿(mǎn)足題意的存在為.   當(dāng)直線垂直于軸時(shí),易求得以為直徑的圓為，同樣可檢驗(yàn)其經(jīng)過(guò).                  ….…15分

方法二：（2）設(shè)設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立消有,

，

以AB為直徑的圓的方程為，即

，代入，有

，

即，

令. ……15分

 

【解析】略