Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿(mǎn)足S_n+2n=2a_n．
（I）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=log₂（a_n+2），求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，由此利用構(gòu)造法能夠證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（Ⅱ）由，得，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：（I）證明：由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，
當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=2a_n-2n，①
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴，
∴．
（Ⅱ）解：∵，
∴b_n=n（n+1），
∴，
∴
=1-+-+…+
=1-
=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．