已知函數f(x)的定義域是x≠0的一切實數集,對定義域內的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且當x>1時,f(x)>0,f(2)=1,
(1)求證:f(x)是偶函數;
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數;
(3)試比較f()與f(
)的大�。�
(1)證明:函數的定義域是{x|x≠0}. 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. 令x1=x2=-1,得f(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1), ∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0. ∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函數. (2)證明:設0<x1<x2,則 f(x2)-f(x1)=f(x1· ∵x2>x1>0,∴ ∴f(x2)>f(x1), 即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函數. (3)解:由(1)知f(x)是偶函數,則有f( 由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函數,則f( ∴f( |
思路分析:本題是抽象函數問題,主要考查函數的奇偶性和單調性及其綜合應用.解決此類問題的關鍵是利用好條件中的函數性質等式.(1)利用賦值法證明f(-x)=f(x);(2)利用定義法證明單調性;(3)利用函數的單調性比較它們的大小. 綠色通道:判斷抽象函數的奇偶性和單調性通常應用定義法,比較抽象函數值的大小通常利用抽象函數的單調性來比較.其關鍵是將所給的關系等式進行有效的變形和恰當的賦值. |
科目:高中數學 來源: 題型:
1 |
3 |
a-3 |
2 |
x | 2 1 |
x | 2 2 |
x | 3 1 |
x | 3 2 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
x |
1+x |
1 |
10 |
1 |
9 |
1 |
2 |
19 |
2 |
19 |
2 |
1 |
2 |
1 |
9 |
1 |
10 |
1 |
x |
| ||
1+
|
x |
1+x |
1 |
1+x |
x |
1+x |
1+x |
1+x |
1 | ||
2x+
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科目:高中數學 來源: 題型:
| ||
1-x |
1 |
2 |
1 |
n |
2 |
n |
n-1 |
n |
lim |
n→∞ |
4Sn-9Sn |
4Sn+1+9Sn+1 |
|
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科目:高中數學 來源: 題型:
x+1-a |
a-x |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
| ||
1-x |
1 |
n |
2 |
n |
n-1 |
n |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
sinα | ||
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