Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=4，．
（1）求證：BD⊥平面PAD；
（2）求三棱錐A-PCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ABD中，推出AD⊥BD．通過平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，證明BD⊥平面PAD．
（2）過P作PO⊥AD交AD于O．說明PO⊥平面ABCD．在 Rt△ABD中，求出斜邊AB邊上的高為，求出S_△ACD．然后求出V_A-PCD=V_P-ACD
解答：（1）證明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，，
∴AD²+BD²=AB²∴AD⊥BD．（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．（5分）
（2）解：過P作PO⊥AD交AD于O．
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．（7分）
∵△PAD是邊長為2的等邊三角形，
∴．由（1）知，AD⊥BD，在 Rt△ABD中，
斜邊AB邊上的高為．（9分）
∵AB∥DC，∴．
∴．（12分）
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．