Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD中點(diǎn)Q，連AQ、QF，易證EF∥AQ，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證得EF∥面PAD；
（2）欲證CD⊥EF，可先證直線與平面垂直，CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD，從而得到CD⊥EF；
（3）先證∠QAD為AQ與平面ABCD所成角，在三角形QAD中求出此角，再根據(jù)AQ∥EF，得到EF與平面ABCD所成的角的大小．
解答：解：（1）取PD中點(diǎn)Q，連AQ、QF，則AE∥QF
∴四邊形AEFQ為平行四邊形
∴EF∥AQ
又∵AQ在平面PAD內(nèi)，EF不在平面PAD內(nèi)
∴EF∥面PAD；
（2）證明∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A
PA在平面PAD內(nèi)，AD在平面PAD內(nèi)
∴CD⊥面PAD
又∵AQ在平面PAD同
∴CD⊥AQ
∵EF∥AQ
∴CD⊥EF；
（3）解∵∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形
∴AQ⊥PD
∴∠QAD=45°
即AQ與平面ABCD所成角為45°
又∵AQ∥EF
∴EF與平面ABCD所成角45°．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面平行，以及直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．