Question

橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，作出示意圖，可得△ABF₂為等邊三角形，即|OF₂|=

3

2

|AB|，可得c=

3

b，由此結(jié)合b²=a²-c²即可解出橢圓的離心率為

3

2

．

解答：解：設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為B，下頂點(diǎn)為A，如圖所示
∵一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，即△ABF₂為等邊三角形
∴|OF₂|=

3

2

|AB|，可得c=

3

b
平方得c²=3b²=3（a²-c²），所以3a²=4c²，
可得e²=

c2

a2

=

3

4

，得e=

3

2

故答案為：

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸構(gòu)成正三角形，求橢圓的離心率，著重考查了正三角形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．