以下四個命題：
①平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線；
②拋物線y=ax2的焦點到原點的距離是
|a|
4
；
③直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=x1+x2+p；
④正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為4
3
p．其中正確命題的序號是
④
④
．
分析：對于①當定點F正好在定直線l上時，平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡不是拋物線；
②先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得焦點坐標．
③只有當直線l是過拋物線焦點的直線時，直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=x1+x2+p才成立；
④設(shè)另外兩個頂點的坐標分別為 （
m2
2p
， m），（
m2
2p
， -m），由 tan30°=
m
m2
2p
，解得 m的值．
解答：解：①當定點F正好在定直線l上時，平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡不是拋物線；故錯；
②當a＞0時，整理拋物線方程得x2=
1
a
y，p=
1
2a

∴焦點坐標為 (0，
1
4a
)，拋物線y=ax2的焦點到原點的距離是
1
4|a|
；故錯；
③當直線l不是過拋物線焦點的直線時，直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=x1+x2+p不成立，故③錯；
④設(shè)正三角形另外兩個頂點的坐標分別為 （
m2
2p
， m），（
m2
2p
， -m），由 tan30°=
3
3
=
m
m2
2p
，
解得 m=2
3
p，故這個正三角形的邊長為  2m=4
3
p，
故正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為4
3
p正確．
其中正確命題的序號是 ④．
故答案為：④．
點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵．④直角三角形中的邊角關(guān)系，設(shè)出另外兩個頂點的坐標，是解題的突破口．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

16、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱AB、CC1的中點，△MB1P的頂點P在棱CC1與棱C1D1上運動，有以下四個命題：
①平面MB1P⊥ND1；②平面MB1P⊥平面ND1A1；③△MB1P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值；④△MB1P在側(cè)面D1C1CD上的射影圖形是三角形．
其中正確命題的序號是
②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②當且僅當x=
12
時，四邊形MENF的面積最��；
③四邊形MENF周長l=f（x），x∈0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C′-MENF的體積v=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中真命題的序號為
①②④
①②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA'，CC'的中點，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB'、DD'交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD'B'；
②當且僅當x=
1
2
時，四邊形MENF的面積最小；
③四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中假命題的序號為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下四個命題:

①如果平面α和平面β有公共點,則只有一個公共點;②不在同一條直線上的四點,一定可以確定一個平面;③若一條直線與兩條平行線都相交,則這三條直線共面;④若四條線段按順序首尾相接,則所得的圖形必是平面圖形.其中正確的命題是(    )

A.僅①           B.僅②            C.僅③              D.僅③和④

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