Question

（2013•青島一模）已知x、y滿足約束條件

x+y-1≤0 x≥0 y≥0

，若0≤ax+by≤2，則

b+2

a+1

的取值范圍為（　　）

• A．[1，3]
• B．[

  2

  3

  ，4]
• C．[

  2

  3

  ，

  4

  3

  ]
• D．[

  4

  3

  ，4]

Answer 1

分析：作出題中不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部．因?yàn)椴坏仁?≤ax+by≤2對(duì)約束條件的所有x、y都成立，所以關(guān)于a、b的不等式組

0≤a≤2 0≤b≤2

恒成立，在aob坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)Q（a，b）為區(qū)域內(nèi)部及其邊界上一點(diǎn)，利用T、Q兩點(diǎn)連線的斜率加以計(jì)算，即可得到

b+2

a+1

的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x+y-1≤0 x≥0 y≥0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，0，B（0，1），
∵不等式0≤ax+by≤2對(duì)于約束條件的所有x、y都成立
∴記F（x，y）=ax+by，可得

F(1，0)=a∈[0，2] F(0，1)=b∈[0，2] F(0，0)=0∈[0，2]

即

0≤a≤2 0≤b≤2

，在aob坐標(biāo)系中作出不等式組表示的平面區(qū)域，
得到如圖的正方形形POMN及其內(nèi)部，
其中M（2，0），N（2，2），P（0，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)
而k=

b+2

a+1

表示點(diǎn)T（-1，-2）與Q（a，b）連線的斜率，
點(diǎn)Q是四邊形MKNO內(nèi)部或邊界一點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q可得：當(dāng)Q與M重合時(shí)，k達(dá)到最小值，k_min=

0+2

2+1

=

2

3

當(dāng)Q與P重合量，k達(dá)到最大值，k_max=

2+2

0+1

=4
∴

b+2

a+1

的取值范圍為[

2

3

，4]
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，在0≤ax+by≤2恒成立的情況下，求

b+2

a+1

的取值范圍．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．