如圖1,在邊長為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223339990287.png)
的正三角形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340021473.png)
中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340068318.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340084302.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340099289.png)
分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340130396.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340146401.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340286398.png)
上的點,且滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340302720.png)
.將△
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340333469.png)
沿
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340349386.png)
折起到△
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340364512.png)
的位置,使二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340598618.png)
成直二面角,連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340614437.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340630416.png)
.(如圖2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232233408011567.png)
(Ⅰ)求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340817438.png)
⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340832445.png)
;
(Ⅱ)求直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340817438.png)
與平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341020489.png)
所成角的大小.
(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341113389.png)
.
(I)在平面圖形中證明
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341144585.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341176583.png)
即可.
(2)可以采用空間向量法求解,求出平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341020489.png)
的法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341207315.png)
,那么
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341238467.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341207315.png)
的夾角(銳角)與所求線面角互余.
(Ⅰ)證明:取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341285396.png)
中點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341300315.png)
,連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341316396.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232233413321444.png)
因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341410605.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341441457.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341472597.png)
,而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341488547.png)
,即△
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341675474.png)
是正三角形.又因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341706576.png)
, 所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341737582.png)
.所以在圖2中有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342018577.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342080536.png)
.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342096577.png)
為二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342127614.png)
的平面角.
又二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342127614.png)
為直二面角, 所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342158583.png)
.
又因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342190630.png)
, 所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342283437.png)
⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342314469.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342283437.png)
⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342361442.png)
.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342283437.png)
⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342361442.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342080536.png)
,如圖,以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340068318.png)
為原點,建立空間直角坐標系
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342767534.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232233427821996.png)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342814561.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342829593.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342876588.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342907639.png)
.
在圖1中,連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342923366.png)
.因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343094883.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343235370.png)
∥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341285396.png)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343469794.png)
.所以四邊形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343484516.png)
為平行四邊形.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340349386.png)
∥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223342923366.png)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343547541.png)
.
故點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223340099289.png)
的坐標為(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343594344.png)
,0).圖2
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343609746.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343625725.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343640708.png)
不妨設(shè)平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343656497.png)
的法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343656635.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343828979.png)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343859983.png)
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343874476.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343906686.png)
.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232233439211787.png)
故直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343937442.png)
與平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223343656497.png)
所成角的大小為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223341113389.png)
.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題共10分)
將兩塊三角板按圖甲方式拼好,其中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609680597.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609696631.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609836614.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232246098686287.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609883471.png)
,現(xiàn)將三角板
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609899467.png)
沿
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609914398.png)
折起,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609946293.png)
在平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609961454.png)
上的射影恰好在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224609977378.png)
上,如圖乙.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232246100087308.png)
(Ⅰ)求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224610024415.png)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224610039462.png)
;
(Ⅱ)求二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224610055550.png)
的余弦值;
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223513309621.png)
中,底面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223513325526.png)
是正方形,其他四個側(cè)面都是等邊三角形,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223513340401.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223513356377.png)
的交點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223513387292.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223513403318.png)
為側(cè)棱
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223513418397.png)
上一點.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232235134345130.png)
(Ⅰ)當E為側(cè)棱SC的中點時,求證:SA∥平面BDE;
(Ⅱ)求證:平面BDE⊥平面SAC
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若直線a∥平面a,直線b⊥直線a,則直線b與平面a的位置關(guān)系是( )
A.b∥a | B.bÌa | C.b與a相交 | D.以上均有可能 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223207560396.png)
是不同的直線,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223207638450.png)
是不同的平面,則下列結(jié)論錯誤的是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223059497497.png)
是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分14分)
如圖,在四棱錐
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212222602.png)
中,底面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212238510.png)
為矩形,平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212238510.png)
⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212347453.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212363637.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212378506.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212410294.png)
為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212425385.png)
的中點,
求證:(1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212441395.png)
∥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212472424.png)
;(2)平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212488451.png)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215212503474.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232152125193735.png)
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