（1）已知函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明．
（2）已知函數(shù)f(x)=lg
1-x
1+x
，
    ①求f（x）的定義域；
    ②證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
    ③判斷并證明f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（-x）=-f（x），從而得到函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）①由函數(shù)的解析式可得
1-x
1+x
＞0，解得-1＜x＜1，可得函數(shù)的定義域．
②由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
③令t（x）=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x
，設(shè)-1＜x1＜x2＜1，則有f（x1）-f（x2）=
2(x2-x1)
(1+x1)(1+x2)
＞0，即f（x1）＞f（x2），可得函數(shù)t（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)
解答：（1）解：∵已知函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（-x）=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
 =-
2x-1
2x+1
=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）解：①∵已知函數(shù)f(x)=lg
1-x
1+x
，∴
1-x
1+x
＞0，即
x-1
x+1
＜0，即 （x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．
②由于函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=lg
1+x
1-x
=lg(
1-x
1+x
)-1=-lg
1-x
1+x
=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
③令t（x）=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x
，
顯然函數(shù)t（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)-1＜x1＜x2＜1，
則有f（x1）-f（x2）=[-1+
2
1+x1
]-[-1+
2
1+x2
]=
2
1+x1
-
2
1+x2
=
2(x2-x1)
(1+x1)(1+x2)
．
由題設(shè)可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2-x1）＞0，
∴
2(x2-x1)
(1+x1)(1+x2)
＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函數(shù)t（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）=lgt（x）=lg
1-x
1+x
 在定義域（-1，1）上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義和判斷方法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列命題：（1）已知函數(shù)f(x)=x+
p
x-1
（p為常數(shù)且p＞0），若f（x）在區(qū)間（1，+∞）的最小值為4，則實(shí)數(shù)p的值為
9
4
； （2）?x∈[0，
π
2
]，sinx+cosx＞
2
；（3）正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中：a4．a(chǎn)6=8，函數(shù)f（x）=x（x+a3）（x+a5）（x+a7），則f′(0)=16
2
；（4）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2-n+1，且bn=2an+1，則數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn=4n2-n+2上述命題正確的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知函數(shù)f(x)=sin(
1
2
x+
π
4
)，求函數(shù)在區(qū)間[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）計(jì)算：tan70°cos10°(
3
tan20°-1)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義在集合D上的函數(shù)y=f（x），若f（x）在D上具有單調(diào)性，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]稱為f（x）的“等域區(qū)間”．
（1）已知函數(shù)f(x)=
x
是[0，+∞）上的正函數(shù)，試求f（x）的等域區(qū)間．
（2）試探究是否存在實(shí)數(shù)k，使函數(shù)g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題1：已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們?nèi)舭衙恳粋�(gè)函數(shù)值計(jì)算出，再求和，對(duì)函數(shù)值個(gè)數(shù)較少時(shí)是常用方法，但函數(shù)值個(gè)數(shù)較多時(shí)，運(yùn)算就較繁鎖．觀察和式，我們發(fā)現(xiàn)f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規(guī)律從而很方便求和，請(qǐng)求出上述結(jié)果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數(shù)f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
（1）已知函數(shù)f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）試證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，f（x）在R上為增函數(shù)．

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