Question

四棱椎P-ABCD的底面是菱形，O是AB與CD交點，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：
（1）OE∥平面PCD
（2）平面BDE⊥平面ABCD．

Answer 1

證明：（1）因為四邊形ABCD是菱形，所以O為AC中點．
又E是PA中點，∴OE∥PC
又PC?平面PCD，OE?平面PCD
∴OE∥平面PCD
（2）∵PC⊥平面ABCD
OE∥PC，∴OE⊥平面ABCD
又OE?平面BDE
∴平面BDE⊥平面ABCD
分析：（1）欲證OE∥平面PCD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證OE與平面PCD內一直線平行，根據中位線可知OE∥PC
又PC?平面PCD，OE?平面PCD，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面BDE⊥平面ABCD，根據面面垂直的判定定理可知在平面BDE內一直線與平面ABCD垂直，而OE⊥平面ABCD
又OE?平面BDE，滿足定理所需條件．
點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力．