【題目】若數(shù)列A:a1 , a2 , …,an(n≥3)中ai∈N*(1≤i≤n)且對(duì)任意的2≤k≤n﹣1,ak+1+ak﹣1>2ak恒成立,則稱數(shù)列A為“U﹣數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列1,x,y,7為“U﹣數(shù)列”,寫出所有可能的x,y;
(Ⅱ)若“U﹣數(shù)列”A:a1 , a2 , …,an中,a1=1,an=2017,求n的最大值;
(Ⅲ)設(shè)n0為給定的偶數(shù),對(duì)所有可能的“U﹣數(shù)列”A:a1 , a2 , …,an0 , 記M=max{a1 , a2 , …,an0},其中max{x1 , x2 , …,xs}表示x1 , x2 , …,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù),求M的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)∵數(shù)列A:a1,a2,…,an(n≥3)中ai∈N*(1≤i≤n)且對(duì)任意的2≤k≤n﹣1,ak+1+ak﹣1>2ak恒成立,則稱數(shù)列A為“U﹣數(shù)列”.

數(shù)列1,x,y,7為“U﹣數(shù)列”,

∴所有可能的x,y為 ,

(Ⅱ)n的最大值為65,理由如下

一方面,注意到:ak+1+ak﹣1>2akak+1﹣ak>ak﹣ak﹣1

對(duì)任意的1≤i≤n﹣1,令bi=ai+1﹣ai,則bi∈Z且bk>bk﹣1(2≤k≤n﹣1),故bk≥bk﹣1+1對(duì)任意的2≤k≤n﹣1恒成立.(★)

當(dāng)a1=1,an=2017時(shí),注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0,得bi=(bi﹣bi﹣1)+(bi﹣1﹣bi﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1≥i﹣1(2≤i≤n﹣1)

此時(shí)

,解得:﹣62≤n≤65,故n≤65

另一方面,取bi=i﹣1(1≤i≤64),則對(duì)任意的2≤k≤64,bk>bk﹣1,故數(shù)列{an}為“U﹣數(shù)列”,

此時(shí)a65=1+0+1+2+…+63=2017,即n=65符合題意.

綜上,n的最大值為65.

(Ⅲ)M的最小值為 ,

證明如下:

當(dāng)n0=2m(m≥2,m∈N*)時(shí),

一方面:由(★)式,bk+1﹣bk≥1,bm+k﹣bk=(bm+k﹣bm+k﹣1)+(bm+k﹣1﹣bm+k﹣2)+…+(bk+1﹣bk)≥m.

此時(shí)有:(a1+a2m)﹣(am+am+1)=(bm+1+bm+2+…+b2m﹣1)﹣(b1+b2+…+bm﹣1

=(bm+1﹣b1)+(bm+2﹣b2)+…+(b2m﹣1﹣bm﹣1)≥m(m﹣1)

另一方面,當(dāng)b1=1﹣m,b2=2﹣m,…,bm﹣1=﹣1,bm=0,bm+1=1,…,b2m﹣1=m﹣1時(shí),

ak+1+ak﹣1﹣2ak=(ak+1﹣ak)﹣(ak﹣ak﹣1)=bk﹣bk﹣1=1>0

取am=1,則am+1=1,a1>a2>a3>…>am,am+1<am+2<…<a2m,

此時(shí)

綜上,M的最小值為


【解析】(Ⅰ)將k=2和k=3分別代入ak+1+ak-12ak中得到線性約束條件,并找出其整點(diǎn);(Ⅱ)(Ⅲ)構(gòu)造新數(shù)列,使bi=ai+1ai.

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