如圖1,在直角梯形ABCP中,AP//BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D為AP的中點,E,F(xiàn),G分別為PC、PD、CB的中點,將
PCD沿CD折起,使點P在平面ABCD上的射影為點D,如圖2.
(I)求證:AP//平面EFG;
(II)求二面角E-FG-D的一個三角函數(shù)值.
解:由題意,△PCD折起后PD⊥平面ABCD, 四邊形ABCD是邊長為2的正方形,PD=2.
(I)∵ E、F、G分別是PC、PD、BC的中點,
∴ EF∥CD, EG∥PB.
又CD∥AB, ∴EF∥AB, PBAB=B,
∴ 平面EFG∥平面PAB
(II)建立空間直角坐標(biāo)系
,如圖,
則D(0,0,0),F(0,0,1),G(1,2,0),E(0,1,1),
(0,1,0) ,
(1,2,0),
(0,-1,0),
(1,1,-1). ...........................6分
設(shè)平面DFG的法向量為,
則 ∴
令得
(-2,1,0).
設(shè)平面EFG得法向量為,
則
∴
令得
(1,0,1),
設(shè)二面角E-FG-D為, 則
=
,
所以, 設(shè)二面角E-FG-D的余弦值為
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