Question

如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6

6

，高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=x，V（x）表示四棱柱P-ACFE的體積．
（1）求證：面PEF⊥面ACFE；
（2）求V（x）的表達式，并求當(dāng)x為何值時V（x）取得最大值？

Answer 1

分析：（1）要證面PEF⊥面ACFE，只需證明面PEF內(nèi)的直線PE，垂直平面ACEF內(nèi)的兩條相交直線AE、EF即可；
（2）利用V（x）=V_P-ACB-V_P-BEF求V（x）的表達式，求導(dǎo)數(shù)求其極值點，確定x的值，求出V（x）的最大值．

解答：證明：（1）由折起的過程可知，PE⊥EF．又PE⊥AE，AE∩EF=E，
∴PE⊥面ACFE．又PE?面PEF，
∴面PEF⊥面ACFE．
解：（2）由（1）知PE⊥面ACFE，則PE即為四棱錐P-ACFE的高．
而S_△ABC=9

6

，S_△BEF=

1

2

x•

x

6

=

x2

2 6

，
∴V（x）=V_P-ACB-V_P-BEF
=

1

3

（

1

2

×6

6

×3-

x2

2 6

）x
=

6

3

x•（9-

x2

12

），（0＜x＜3

6

）．
∴V′（x）=

6

3

×（9-

x2

4

），所以當(dāng)0＜x＜6時，V′（x）＞0，V（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)6＜x＜3

6

時，V′（x）＜0，V（x）單調(diào)遞減．因此當(dāng)x=6時，V（x）取得最大值12

6

．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值問題，考查學(xué)生邏輯思維能力，空間想象能力，計算能力，是中檔題．