Question

已知球的直徑PQ=4，A、B、C是該球球面上的三點(diǎn)，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，則棱錐P-ABC的體積為（　�。�

• A．

  3

  4

  3

• B．

  9

  4

  3

• C．

  3

  2

  3

• D．

  27

  4

  3

Answer 1

分析：設(shè)球心為M，三角形ABC截面小圓的圓心為0，根據(jù)條件作出對(duì)應(yīng)的直觀圖，求出棱錐P-ABC的高和底面邊長(zhǎng)，計(jì)算出錐體的體積即可．

解答：解：設(shè)球心為M，三角形ABC截面小圓的圓心為0，
∵ABC是等邊三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°
∴P在面ABC的投影O是等邊△ABC的重心（此時(shí)四心合一）
∵PQ是直徑，
∴∠PCQ=90°．
∴PC=4cos30°=2

3

，
∴PO=2

3

•cos30°=3．
OC=2

3

sin30°=

3

O是等邊△ABC的重心
∴OC=

2

3

OH
∴等邊三角形ABC的高OH=

3 3

2

，
AC=

3 3

2

sin60°=3．
三棱錐P-ABC體積=

1

3

PO•S_△ABC=

1

3

×3×

1

2

×

3 3

2

×3=

9 3

4

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐的體積公式的計(jì)算，利用三棱錐和球的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．