Question

已知奇函數f（x）的定義域為[-1，1]，f（-1）=2，對任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0．
（Ⅰ）判斷f（x）在[-1，1]上是增函數還是減函數，并證明你的結論；
（Ⅱ）若f（x）≤m²-2am+2對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據題中的不等式結合函數為奇函數，利用單調性的定義加以證明，即可得到函數f（x）是區(qū)間[-1，1]上的減函數；
（II）由題意得當x∈[-1，1]時，f（x）≤2恒成立．因此原不等式可化為m²-2am+2≥2，即m（m-2a）≥0，再根據a∈[-1，1]建立關于m的不等式組，解之即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數，
∴f（x）對于任意x∈[-1，1]，-x∈[-1，1]．
且f（-x）=-f（x）恒成立．
設-1≤x₁＜x₂≤1，則x₁-x₂＜0，即x₁+（-x₂）-x₂≠0，
由題意得：

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＜0，即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
因此，函數f（x）是區(qū)間[-1，1]上的減函數；
（Ⅱ）∵f（-1）=2，且f（x）在[-1，1]上是減函數，
∴當x∈[-1，1]時，函數的最大值為f（-1）=2，可得f（x）≤2恒成立．
∵不等式f（x）≤m²-2am+2對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴m²-2am+2≥2，即m²-2am≥0，可得m（m-2a）≥0．
由于a∈[-1，1]時，原不等式恒成立，
∴可得

m(m+2)≥0 m(m-2)≥0

，解之得m=0或m≥2或m≤-2，
即實數m的取值范圍是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點評：本題給出奇函數滿足的條件，求函數的單調性并依此解決不等式恒成立的問題，著重考查了函數的奇偶性、單調性和不等式的解法等知識，屬于中檔題．