【題目】已知焦點在軸上的橢圓的中心是原點,離心率為雙曲線離心率的一半,直線被橢圓截得的線段長為.直線: 與軸交于點,與橢圓交于兩個相異點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在實數(shù),使?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 或或.
【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用離心率、四邊形的周長進行求解;(Ⅱ)利用平面向量的線性運算得到的關(guān)系,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用橢圓的對稱性、平面向量的坐標(biāo)運算和判別式進行求解.
試題解析:(Ⅰ)根據(jù)已知設(shè)橢圓的方程為,焦距為,
由已知得,∴.
∵以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為,
∴.
∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)根據(jù)已知得,由,得.
∴.∵,∴,
若,由橢圓的對稱性得,即.
∴能使成立.
若,則,解得.
設(shè),由得,
由已知得,即.
且.…10分
由得,即.∴,
∴,即.
當(dāng)時, 不成立.∴,
∵,∴,即.
∴,解得或.
綜上述,當(dāng)或或時, .
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【題目】已知函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,當(dāng)對任意恒成立時, 的最大值為,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】(12分)在數(shù)列中,對于任意,等式
成立,其中常數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關(guān)于n的不等式的解集為
,求b和c的取值范圍.
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【題目】設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(Ⅰ)若直線l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于2,求實數(shù)a的值.
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【題目】某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款,舉行“一元錢,一片心,誠信用水”活動,學(xué)生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水,便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出和收益情況,如表:
售出水量x(單位:箱) | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收益y(單位:元) | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)預(yù)測售出8箱水的收益是多少元?
附:回歸直線的最小二乘法估計公式分別為: =, =﹣,
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【題目】設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象為, 、,且為圖象上的任意一點, 為坐標(biāo)原點,當(dāng)實數(shù)滿足時,記向量,若恒成立,則稱函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似,其中是一個確定的正數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似,求的取值范圍;
(2)已知函數(shù)的反函數(shù)為,函數(shù),( ),點、,記直線的斜率為,若,問:是否存在,使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】某班同學(xué)利用國慶節(jié)進行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組數(shù) | 分組 | 低碳族的人數(shù) | 占本組的頻率 |
第一組 | [25,30) | 120 | 0.6 |
第二組 | [30,35) | 195 | |
第三組 | [35,40) | 100 | 0.5 |
第四組 | [40,45) | 0.4 | |
第五組 | [45,50) | 30 | 0.3 |
第六組 | [50,55] | 15 | 0.3 |
(1)補全頻率分布直方圖并求 的值;
(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動,其中選取2人作為領(lǐng)隊,求選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率.
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【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若,當(dāng)時,求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,點T(-1,1)在AD邊所在直線上.
(1)求AD邊所在直線的方程;
(2)求矩形ABCD外接圓的方程.
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