Question

在1，2，3，4，5的所有排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中，
（1）求滿足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的概率；
（2）記ξ為某一排列中滿足a_i=i（i=1，2，3，4，5）的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有的排列種數(shù)有A₅⁵．滿足條件的事件中，若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素，都符合要求，若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，列舉出結果，得到概率．
（2）ξ為某一排列中滿足a_i=i（i=1，2，3，4，5）的個數(shù)，由題意知ξ可以取0，1，2，3，5．結合變量對應的事件，寫出變量的分布列，和期望．

解答：解：（1）由題意知，本題是一個古典概型，
試驗發(fā)生包含的所有的排列種數(shù)有A₅⁵=120個．
滿足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的排列中，
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素，都符合要求，有A₃³A₂²=12個．
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，
這時符合要求的排列只有1，3，2，5，4；2，3，1，5，4；4，5，1，3，2；4，5，2，3，1共4個．
故滿足條件的概率P=

A 3 3 A 2 2 +4

A 5 5

=

2

15

．
（2）隨機變量ξ可以取0，1，2，3，5．
P(ξ=5)=

1

A 5 5

=

1

120

，
P(ξ=3)=

C 3 5

A 5 5

=

1

12

，
P(ξ=2)=

2 C 2 5

A 5 5

=

1

6

，
P(ξ=1)=

9 C 1 5

A 5 5

=

3

8

，
P(ξ=0)=1-

1+ C 3 5 +2 C 2 5 +9 C 1 5

A 5 5

=

11

30

．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=0×

11

30

+1×

3

8

+2×

1

6

+3×

1

12

+5×

1

120

=1．

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．