在數(shù)列中,對于任意
,等式
成立,其中常數(shù)
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關于n的不等式的解集為
,求b和c的取值范圍.
(Ⅰ)解:因為,
所以,
,
解得 ,
.
………………………… 3分
(Ⅱ)證明:當時,由
, ①
得,
②
將①,②兩式相減,得 ,
化簡,得,其中
.
………………… 5分
因為,
所以 ,其中
.
………………………… 6分
因為 為常數(shù),
所以數(shù)列為等比數(shù)列. …………………… 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),得, ……………………… 9分
所以
, 11分
又因為,
所以不等式化簡為
,
當時,考察不等式
的解,
由題意,知不等式的解集為
,
因為函數(shù)在R上單調遞增,
所以只要求 且
即可,
解得; …………………… 13分
當時,考察不等式
的解,
由題意,要求不等式的解集為
,
因為,
所以如果時不等式成立,那么
時不等式也成立,
這與題意不符,舍去.
所以,
.
………………………… 14分
【解析】本試題主要是考查了數(shù)列通項公式的運用,以及數(shù)列與不等式的綜合運用。
(1)因為,
所以,
,
解得 ,
.
(2)采用整體的思想,作差法得到通項公式的表示,進而得到結論。
(3)由(Ⅱ),得, ……………………… 9分
所以
然后求和化簡得到。
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆湖北省高一下學期期中聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
在數(shù)列中,對于任意
,等式:
恒成立,其中常數(shù)
.
(1)求的值;
(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)如果關于的不等式
的解集為
,試求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江省紹興市高一下學期期中考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
在數(shù)列中,對于任意
,等式:
恒成立,其中常數(shù)
.
(1)求的值; (2)求證:數(shù)列
為等比數(shù)列;
(3)如果關于的不等式
的解集為
,試求實數(shù)
、
的取值范圍.
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